向量与线性方程组

对于形如：

$$ \left{ \begin{aligned} 2x - y &= 0 \ -x + 2y &= 3 \end{aligned} \right. $$

以上的线性方程组，可以将它写成如$Ax=b$的形式： $$ \begin{bmatrix} 2&-1 \ -1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\ 3\end{bmatrix} $$

展开后可以得到：

$$ x\begin{bmatrix}2 \ -1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1 \ 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \ 3\end{bmatrix} $$

这种$c\mathbf{v} +d\mathbf{w} $的形式称之为线性组合。

矩阵乘法

线性方程组的解

对于线性方程组$Ax=b$，并不总具有解。 假定存在$n$个列向量及其组合，但其中有一个列向量对组合毫无贡献，即它能被另一个列向量覆盖，则$n$个列向量的组合只能覆盖$n-1$个维度。

消元法

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\ 0 & 2 & -2 \ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} $$

通过矩阵行与行之间的减法和交换将矩阵$A$转换成上三角矩阵，其中每一行的第一个非零元素被称为主元，它在消元过程中其主导作用。如对于上述矩阵，主元是$1$、$2$和$5$。

此后，再对b进行相同的变换，并回代到方程组中，就可以得到解。

如果第$n$行的第$n$个元素为$0$，且该元素所在列下方的所有元素都为$0$，消元将会失效。