导数
导数的数学意义
切线
几何问题：找到某个函数在某个点上的切线
已知过一个点\(P(x_0,y_0)\)的任何直线都有方程式\(y-y_0=m(x-x_0)\)，其中\(m\)是直线的斜率。
则\(P\)可以表示为\(y_0=f(x_0)\).
把过点曲线在点\(P\)处的切线方程记为\(m=f’(x_0)\)。
slope：斜率，在微积分中也叫做导数，即函数在某一点上的导数值等于曲线在该点的切线的斜率，称\(m\)或\(f'(x_0)\)是\(f\)在\(x_0\)处的导数。
导数公式：
\[f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]
其中\(f'(x_0)\)的值等于\(f(x)\)点\(P(x_0，y_0)\)上的斜率。
常用的表示函数\(f\)的导数的方法：
- 牛顿表示：\(f'\)
- 莱布尼茨表示： \(\frac{df}{dx}\)或\(\frac{d}{dx}f\)
变化率
导数的另一意义是函数值的变化率。
极限和连续性
使用以下符号代表\(x\)从正方向趋近于\(x_0\)，且\(x\)始终大于\(x_0\)，反之同理：
\[\lim_{x \to x_0^+} \]
一个在\(x_0\)处连续的函数包含以下要素：
- 左右极限都存在且相等
- \(f(x_0)\)存在（defined），\(x_0\)在定义域上
- \(f(x_0)\)和\(x_0\)在\(f\)上的左右极限都相等
如果一个函数不连续，有以下情况：
- 左右极限存在但不相等
- 左右极限相等但\(x_0\) undefined \(x_0\)是可去间断点
- 无限不连续性，即\(x_0\)的左右极限都趋于（正负）无限
- 不存在左极限或右极限
存在以下性质：
- 对奇函数求导，导函数总是偶函数
-
如果\(f\)在\(x_0\)处可导，则\(f\)在\(x_0\)处一定连续。即如果需要证明\(f\)在\(x_0\)处的连续性，只需要证明：
\[\lim_{x \to x_0} f(x)-f(x_0)=0\]
求导公式
针对特定函数的求导公式
-
三角函数
- \(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sin x= \cos x\)
- \(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \cos x= - \sin x\)