向量与线性方程组
对于形如：
\[
\left\{
\begin{aligned}
2x - y &= 0 \\
-x + 2y &= 3
\end{aligned}
\right.
\]
以上的线性方程组，可以将它写成如\(Ax=b\)的形式：
$$
\begin{bmatrix} 2&-1 \ -1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\ 3\end{bmatrix}
$$
展开后可以得到：
\[
x\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1 \\ 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 3\end{bmatrix}
\]
这种$c\mathbf{v} +d\mathbf{w} $的形式称之为线性组合。
矩阵乘法
线性方程组的解
对于线性方程组\(Ax=b\)，并不总具有解。
假定存在\(n\)个列向量及其组合，但其中有一个列向量对组合毫无贡献，即它能被另一个列向量覆盖，则\(n\)个列向量的组合只能覆盖\(n-1\)个维度。
消元法
\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix}
\]
通过矩阵行与行之间的减法和交换将矩阵\(A\)转换成上三角矩阵，其中每一行的第一个非零元素被称为主元，它在消元过程中其主导作用。如对于上述矩阵，主元是\(1\)、\(2\)和\(5\)。
此后，再对b进行相同的变换，并回代到方程组中，就可以得到解。
如果第\(n\)行的第\(n\)个元素为\(0\)，且该元素所在列下方的所有元素都为\(0\)，消元将会失效。